Родился 20 января 1952 в г. Кельме (Литва).
С 1970 по 1974 годы учился в Литовской Государственной Консерватории (ныне – Литовская академия музыки). В 1978 году окончил режиссёрский факультет ГИТИСа (курс И.М. Туманова).
Его первым спектаклем стал «Январь» Й. Радичкова в Театре драмы Литовской ССР (1978), а первой московской постановкой – «Мелодия для павлина» О. Заградника в Театре им. К.С. Станиславского (1979).
С 1979 по 1990 год в качестве режиссёра работал в Государственном академическом драматическом театре Литвы (в 1998 театр обретает статус Национального), а с 1994 по 1999 годы – становится его Главным режиссёром.
С 1979 года преподавал на актерско-режиссёрском факультете Литовской государственной консерватории, доцент (1998).
В 1990 году Римас Туминас основывает и по сегодняшний день возглавляет Малый театр Вильнюса.
Поначалу режиссёр работал с разными художниками – А. Капяжинскасом, И. Поповым, В. Идзелите, Р. Дауноравичене, но впоследствии, он отдал предпочтение художнику-соавтору Адомасу Яцовскису. Полноправным соавтором спектаклей Туминаса, безусловно, можно назвать и композитора Фаустаса Латенаса, которому многие годы режиссёр хранит верность.
В 1994 году Римас Туминас стал обладателем Национальной премии Литвы за спектакли «Вишнёвый сад», «Галилей» и «Улыбнись нам, Господи» в Малом театре Вильнюса.
После успешного показа в Москве спектакля «Маскарад», ставшего лауреатом российской национальной театральной премии «Золотая маска» в номинации «Лучший зарубежный спектакль 1998 года», был приглашен на постановку в театр «Современник», где в 2000 году выпускает спектакль «Играем… Шиллера!» по пьесе «Мария Стюарт», а в 2007 году – «Горе от ума» А. Грибоедова.
В 2002 году, приняв приглашение Михаила Ульянова, он поставил свой первый спектакль на сцене Театра имени Евгения Вахтангова – «Ревизор» Н.В. Гоголя.
В 2007 году Римас Туминас в должности художественного руководителя возглавил Театр имени Евгения Вахтангова.
Туминас – один из немногих избранных, в чьих жилах течет настоящая, а не разбавленная режиссёрская кровь: он одушевляет пространство, заряжает его волей и художественным смыслом, превращая спектакль в отдельную планету (А. Карась, «Российская газета»).
В 2012 году Римас Туминас основал Первую Студию Вахтанговского театра. В её работе принимают участие студенты различных театральных вузов. Студия стала связующим звеном между ВУЗом, Новой и Основной сценами театра, в соответствии с триадой Е.Б. Вахтангова «Школа – Студия – Театр».
В октябре 2015 года премьера спектакля «Минетти» по пьесе Т. Бернхарда в постановке Римаса Туминаса открыла Новую сцену Театра имени Евгения Вахтангова.
В том же году в Большом театре России Римас Туминас ставит оперу «Катерина Измайлова» Д.Д. Шостаковича. В марте 2017 года на сцене Музыкального театра им. Станиславского и Немировича-Данченко в его постановке состоялась премьера двух одноактных опер – «Царь Эдип» И.Ф. Стравинского и «Замок герцога Синяя борода» Белы Бартока. В феврале 2018 года осуществил вторую постановку на сцене Большого театра – опера «Пиковая дама» П.И. Чайковского.
В ноябре 2017 года, по инициативе Римаса Туминаса, открылось новое сценическое пространство Вахтанговского театра – Симоновская сцена с двумя зрительными залами.
Римас Туминас удостоен высоких государственных наград: Национальная премия Литвы по культуре и искусству (1994), Орден Дружбы (2010), Почётный знак «Неси свой свет и верь», учреждённый Министерством культуры Литвы (2012), Орден Почёта (2017), Лауреат Государственной премии РФ в области просветительской деятельности (1999), Премия Правительства России (2021), Орден «За заслуги в культуре и искусстве» (2022); многократный обладатель российских и зарубежных театральных премий.
