Окончил факультет философии и театральную школу Национального театра Шайо под руководством Антуана Витеза. Профессиональную деятельность начал в 1988 году.
Среди постановок Брауншвейга – спектакли по произведениям Эсхила, Софокла, Шекспира, Мольера, Клейста, Бюхнера, Ибсена, Чехова, Ведекинда, Пиранделло, Брехта, Хорвата, Ханоха Левина, Оливье Пи и Арне Люгре.
Возглавлял Национальный центр драмы в Орлеане (1993-1998), после этого Национальный театр Страсбурга и школу при нём (2000-2008). С 2010 г. руководил Национальным театром де ла Коллин, где поставил «Кукольный дом», «Росмерсхольм» и «Дикую утку» по Ибсену, «Лулу» Ведекинда, «Шесть персонажей в поисках автора» Пиранделло, «Счастливые дни» Беккета, «Я исчезаю», «Дни под землей» и «Ничего моего» Арне Люгре. С 2015 года руководит парижским театром «Одеон – Театр Европы». В 2016 году впервые сотрудничал с «Комеди Франсез», поставив спектакль по пьесе Расина «Британик».
На счету Брауншвейга – постановка нескольких опер. Работал в Ла Скала, в Шатле, в театре Опера-Комик, в театре Елисейских полей в Париже, в Берлинской государственной опере и др. Ставил произведения Фенелона, Бартока, Бетховена, Дацци, Яначека, Верди, Моцарта, Штрауса, Берга, Вагнера, Дебюсси и Шрекера.
Помимо театральных и оперных постановок, число которых приближается к шестидесяти, Стефан Брауншвейг опубликовал сборник текстов и бесед о театре «Маленькие двери, большие пейзажи», а так же переводы с немецкого, итальянского и норвежского пьес Бюхнера, Клейста, Брехта, Пиранделло и Люгре.
Обладатель звания Рыцарь Почетного Легиона и Ковалер Ордена искусств и литературы Франции.
